Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 180οC στον αέρα. Σε μεγάλη πυρίμαχη κατσαρόλα που μπαίνει και στον φούρνο ρίχνουμε όλα τα λαχανικά. Προσθέτουμε τις τριμμένες ντομάτες, τον μαϊντανό, το ελαιόλαδο και αλατοπιπερώνουμε. Ρίχνουμε ένα ποτήρι νερό, ανακατεύουμε καλά με μια σπάτουλα και βάζουμε το σκεύος στη φωτιά κλείνοντας με το καπάκι.
Μόλις το φαγητό πάρει μια βράση και μαλακώσουν τα λαχανικά, μεταφέρουμε την κατσαρόλα στον φούρνο και ψήνουμε για 50’. Κατόπιν συνεχίζουμε το ψήσιμο για 15’ επιπλέον, χωρίς καπάκι, μέχρι το φαγητό να πάρει ωραίο χρώμα.
Σε ένα μπολ χτυπάμε το γιαούρτι με τα αυγά και λίγη από την κεφαλογραβιέρα με τη βοήθεια ενός αυγοδάρτη. Περιχύνουμε με το μείγμα το φαγητό, πασπαλίζουμε με την υπόλοιπη κεφαλογραβιέρα και ψήνουμε για λίγο επιπλέον στο γκριλ του φούρνου μέχρι να ροδίσει η επιφάνεια του μπριάμ και να λιώσει το τυρί.